Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{16 + r^{2}}} d r$

Этап 1

Пусть $u = 16 + r^{2}$ . Тогда $d u = 2 r d r$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = r d r$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 16 + r^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d r}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $16 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [16 + r^{2}]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $16 + r^{2}$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [16] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [16] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Этап 1.1.3

Поскольку $16$ является константой относительно $r$ , производная $16$ относительно $r$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Этап 1.1.5

Добавим $0$ и $2 r$ .

$2 r$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $r$ в $u = 16 + r^{2}$ .

$u_{lower} = 16 + 0^{2}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 16 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $16$ и $0$ .

$u_{lower} = 16$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $r$ в $u = 16 + r^{2}$ .

$u_{upper} = 16 + 1^{2}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 16 + 1$

Этап 1.5.2

Добавим $16$ и $1$ .

$u_{upper} = 17$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 16$

$u_{upper} = 17$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{16}^{17} \frac{{\sqrt{u - 16}}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${\sqrt{u - 16}}^{2}$ в виде $u - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u - 16}$ в виде ${(u - 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{16}^{17} \frac{{({(u - 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{16}^{17} \frac{{(u - 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int_{16}^{17} \frac{{(u - 16)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\int_{16}^{17} \frac{{(u - 16)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\int_{16}^{17} \frac{{(u - 16)}^{1}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.1.5

Упростим.

$\int_{16}^{17} \frac{u - 16}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.2

Умножим $\frac{u - 16}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int_{16}^{17} \frac{u - 16}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Этап 2.3

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{u}$ .

$\int_{16}^{17} \frac{u - 16}{2 \sqrt{u}} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} \frac{u - 16}{\sqrt{u}} d u$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} \frac{u - 16}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 4.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} (u - 16) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 4.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} (u - 16) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 4.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} (u - 16) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} (u - 16) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5

Развернем $(u - 16) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5.2

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} u^{1 - \frac{1}{2}} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5.6

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} u^{\frac{1}{2}} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int_{16}^{17} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{16}^{17} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{16}^{17} + \int_{16}^{17} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Этап 8

Поскольку $- 16$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 16$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{16}^{17} - 16 \int_{16}^{17} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{16}^{17} - 16 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{16}^{17}))$

Этап 10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $17$ и в $16$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 17^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}} - 16 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{16}^{17}))$

Этап 10.2

Найдем значение $2 u^{\frac{1}{2}}$ в $17$ и в $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 17^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.3

Объединим $\frac{2}{3}$ и $17^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4.1.4

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 64 - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Умножим $64$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - 64 (\frac{2}{3}) - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4.2.2

Объединим $- 64$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 64 \cdot 2}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4.2.3

Умножим $- 64$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}))$

Этап 10.4.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}))$

Этап 10.4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{1}))$

Этап 10.4.3.4

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4))$

Этап 10.4.4

Умножим $- 2$ на $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8))$

Этап 10.4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.5.1

Чтобы записать $- 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8) \cdot \frac{3}{3} - \frac{128}{3})$

Этап 10.4.5.2

Объединим $- 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8)$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8) \cdot 3}{3} - \frac{128}{3})$

Этап 10.4.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8) \cdot 3}{3} - \frac{128}{3})$

Этап 10.4.5.4

Умножим $3$ на $- 16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}} - 48 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8)}{3} - \frac{128}{3})$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}} - 48 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8)}{3} - \frac{128}{3})$

Десятичная форма:

$0.06124186 \dots$