Математический анализ Примеры

$\int x^{4} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int {\sqrt{u}}^{3} \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${\sqrt{u}}^{3}$ в виде $\sqrt{u^{3}}$ .

$\int \sqrt{u^{3}} \frac{1}{2} d u$

Этап 2.2

Объединим $\sqrt{u^{3}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u^{3}}}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u^{3}} d u$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u^{3}}$ в виде $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ в виде $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 6.2

Перепишем $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ в виде $\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$\frac{1}{5} {(x^{2})}^{\frac{5}{2}} + C$