Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} x^{3} {(2 x^{4} + 1)}^{2} d x$

Этап 1

Пусть $u = 2 x^{4} + 1$ . Тогда $d u = 8 x^{3} d x$ , следовательно $\frac{1}{8} d u = x^{3} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 2 x^{4} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 x^{4} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{4} + 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $2 x^{4} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{4}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $4$ на $2$ .

$8 x^{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 x^{3} + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $8 x^{3}$ и $0$ .

$8 x^{3}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x^{4} + 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0^{4} + 1$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

Этап 1.3.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 1.3.2

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x^{4} + 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1^{4} + 1$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 2 \cdot 1 + 1$

Этап 1.5.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Этап 1.5.2

Добавим $2$ и $1$ .

$u_{upper} = 3$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{3} u^{2} \frac{1}{8} d u$

Этап 2

Объединим $u^{2}$ и $\frac{1}{8}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{u^{2}}{8} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{8} \int_{1}^{3} u^{2} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{3}$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{1}{3} u^{3}$ в $3$ и в $1$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 5.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $27$ .

$\frac{1}{8} (\frac{27}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 5.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 5.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 5.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{8} (\frac{9}{1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 5.3.2.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$\frac{1}{8} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{8} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Этап 5.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{8} (9 - \frac{1}{3})$

Этап 5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{8} (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 5.5.2

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 5.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{9 \cdot 3 - 1}{3}$

Этап 5.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{27 - 1}{3}$

Этап 5.5.4.2

Вычтем $1$ из $27$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{26}{3}$

Этап 5.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Умножим $\frac{1}{8}$ на $\frac{26}{3}$ .

$\frac{26}{8 \cdot 3}$

Этап 5.6.2

Умножим $8$ на $3$ .

$\frac{26}{24}$

Этап 5.6.3

Сократим общий множитель $26$ и $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Вынесем множитель $2$ из $26$ .

$\frac{2 (13)}{24}$

Этап 5.6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 12}$

Этап 5.6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 12}$

Этап 5.6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{13}{12}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{13}{12}$

Десятичная форма:

$1.08\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$1 \frac{1}{12}$