Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{2}}{e^{x^{3}}} d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = x^{3}$ . Тогда $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = x^{3}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{e^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{e^{u_{1}}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{e^{u_{1}} \cdot 3} d u_{1}$

Этап 2.2

Перенесем $3$ влево от $e^{u_{1}}$ .

$\int \frac{1}{3 e^{u_{1}}} d u_{1}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поменяем знак экспоненты $e^{u_{1}}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\frac{1}{3} \int 1 {(e^{u_{1}})}^{- 1} d u_{1}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{u_{1}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int 1 e^{u_{1} \cdot - 1} d u_{1}$

Этап 4.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $u_{1}$ .

$\frac{1}{3} \int 1 e^{- 1 \cdot u_{1}} d u_{1}$

Этап 4.2.1.3

Перепишем $- 1 u_{1}$ в виде $- u_{1}$ .

$\frac{1}{3} \int 1 e^{- u_{1}} d u_{1}$

Этап 4.2.2

Умножим $e^{- u_{1}}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \int e^{- u_{1}} d u_{1}$

Этап 5

Пусть $u_{2} = - u_{1}$ . Тогда $d u_{2} = - d u_{1}$ , следовательно $- d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{2} = - u_{1}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $- u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$

Этап 5.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $- u_{1}$ по $u_{1}$ равна $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 7

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{3} (- (e^{u_{2}} + C))$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$\frac{1}{3} (- e^{u_{2}}) + C$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{e^{u_{2}}}{3} + C$

Этап 9

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- u_{1}$ .

$- \frac{e^{- u_{1}}}{3} + C$

Этап 9.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{3}$ .

$- \frac{e^{- x^{3}}}{3} + C$

Этап 10

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{3} e^{- x^{3}} + C$