Математический анализ Примеры

$\int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = \ln (x)$ . Тогда $d u_{1} = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{u_{1}}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поменяем знак экспоненты $e^{u_{1}}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int u_{1} {(e^{u_{1}})}^{- 1} d u_{1}$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{u_{1}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u_{1} e^{u_{1} \cdot - 1} d u_{1}$

Этап 2.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $u_{1}$ .

$\int u_{1} e^{- 1 \cdot u_{1}} d u_{1}$

Этап 2.2.3

Перепишем $- 1 u_{1}$ в виде $- u_{1}$ .

$\int u_{1} e^{- u_{1}} d u_{1}$

Этап 3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = u_{1}$ и $d v = e^{- u_{1}}$ .

$u_{1} (- e^{u_{2}}) - \int - e^{u_{2}} d u_{1}$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$u_{1} (- e^{u_{2}}) - (- e^{u_{2}} u_{1} + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $u_{1} (- e^{u_{2}}) - (- e^{u_{2}} u_{1} + C)$ в виде $- u_{1} e^{u_{2}} - (- e^{u_{2}} u_{1}) + C$ .

$- u_{1} e^{u_{2}} - (- e^{u_{2}} u_{1}) + C$

Этап 5.2

Перепишем $- u_{1} e^{u_{2}} - (- e^{u_{2}} u_{1}) + C$ в виде $- u_{1} e^{u_{2}} + e^{u_{2}} u_{1} + C$ .

$- u_{1} e^{u_{2}} + e^{u_{2}} u_{1} + C$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Добавим $- u_{1} e^{u_{2}}$ и $e^{u_{2}} u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Изменим порядок $e^{u_{2}}$ и $u_{1}$ .

$- u_{1} e^{u_{2}} + u_{1} e^{u_{2}} + C$

Этап 5.3.1.2

Добавим $- u_{1} e^{u_{2}}$ и $u_{1} e^{u_{2}}$ .

$0 + C$

Этап 5.3.2

Добавим $0$ и $C$ .

$C$