Математический анализ Примеры

$\int x^{2} \sec^{2} (x^{3}) d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{3}$ . Тогда $d u = 3 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{3}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \sec^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

Этап 2

Объединим $\sec^{2} (u)$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u)}{3} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \sec^{2} (u) d u$

Этап 4

Поскольку производная $\tan (u)$ равна $\sec^{2} (u)$ , интеграл $\sec^{2} (u)$ равен $\tan (u)$ .

$\frac{1}{3} (\tan (u) + C)$

Этап 5

Упростим.

$\frac{1}{3} \tan (u) + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} \tan (x^{3}) + C$