Математический анализ Примеры

$\int 5 x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 - x^{2}$ . Тогда $d u = - 2 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 - x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 x$

Этап 1.1.4

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$- 2 x$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int 5 {\sqrt{- u + 1}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${\sqrt{- u + 1}}^{2}$ в виде $- u + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- u + 1}$ в виде ${(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 5 {({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 5 {(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int 5 {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\int 5 {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\int 5 {(- u + 1)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.1.5

Упростим.

$\int 5 (- u + 1) \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int 5 (- u + 1) \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 2.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\int - 5 (- u + 1) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 2.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 5$ .

$\int \frac{- 5}{2} (- u + 1) \sqrt{u} d u$

Этап 2.5

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{- 5}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u} \cdot - 5}{2} (- u + 1) d u$

Этап 2.6

Перенесем $- 5$ влево от $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{- 5 \cdot \sqrt{u}}{2} (- u + 1) d u$

Этап 2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{5 \sqrt{u}}{2} (- u + 1) d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{5 \sqrt{u}}{2} (- u + 1) d u$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} (- u + 1) d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} (- u) + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 d u$

Этап 5.2

Изменим порядок $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ и $- 1$ .

$- \int - 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} u + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 d u$

Этап 5.3

Изменим порядок $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ и $1$ .

$- \int - 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} u + 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 5.4

Объединим $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ и $u$ .

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}} u}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 5.5

Возведем $u$ в степень $1$ .

$- \int - 1 \frac{5 (u^{\frac{1}{2}} u^{1})}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 5.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2} + 1}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 5.7

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 5.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1 + 2}{2}}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 5.9

Добавим $1$ и $2$ .

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 5.10

Умножим $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 5.11

Изменим порядок $- 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2}$ и $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Этап 6

Перепишем $- 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2}$ в виде $- \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- (\int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Этап 8

Поскольку $\frac{5}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{5}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{5}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Этап 10

Объединим $\frac{2}{3}$ и $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Этап 11

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Этап 12

Поскольку $\frac{5}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{5}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - (\frac{5}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u))$

Этап 13

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \frac{5}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Объединим $\frac{2}{5}$ и $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Этап 14.2

Упростим.

$- (\frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{3} - u^{\frac{5}{2}}) + C$

Этап 14.3

Изменим порядок членов.

$- (\frac{5}{3} u^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}) + C$

Этап 15

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x^{2}$ .

$- (\frac{5}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Объединим $\frac{5}{3}$ и ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$

Этап 16.2

Чтобы записать $- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Этап 16.3

Объединим $- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ и $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

Этап 16.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Этап 16.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- \frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

Этап 17

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{3} (5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$