Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Этап 1

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x$

Этап 2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x}} d x$

Этап 2.2

Перенесем $\sqrt{x}$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 (\sqrt{x} \sqrt{x})} d x$

Этап 2.3

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})} d x$

Этап 2.4

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})} d x$

Этап 2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1}} d x$

Этап 2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{2}} d x$

Этап 2.7

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

Этап 2.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d x$

Этап 2.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} d x$

Этап 2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} d x$

Этап 2.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 x^{1}} d x$

Этап 2.7.5

Упростим.

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Этап 3

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 3.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1} \cdot 2} d u_{1}$

Этап 4.2

Перенесем $2$ влево от $u_{1}$ .

$\int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{2 u_{1}} d u_{1}$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1}$

Этап 6

Пусть $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Тогда $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , следовательно $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Этап 6.1.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $\frac{u_{1}}{2}$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 6.1.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} (1 \cdot 2) d u_{2}$

Этап 7.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} \cdot 2 d u_{2}$

Этап 7.1.3

Объединим $\frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}}$ и $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}} \cdot 2}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 7.1.4

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{2 \cdot \sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 7.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \int \frac{2 \sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 7.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 7.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{2}}$ в виде ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перенесем ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 7.3.2

Умножим $u_{2}$ на ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Умножим $u_{2}$ на ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Возведем $u_{2}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 7.3.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 7.3.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 7.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

Этап 7.3.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 7.4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Этап 7.4.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Этап 7.4.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Этап 7.4.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Этап 8

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $\frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$ в виде $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 9.2

Перепишем $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ в виде $1 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ .

$1 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 9.3

Умножим ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

${u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\frac{u_{1}}{2}$ .

${(\frac{u_{1}}{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

${(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Сократим выражение $\frac{2 x}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Сократим общий множитель.

${(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 11.1.2

Перепишем это выражение.

${(\frac{x}{1})}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 11.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + C$