Математический анализ Примеры

$\int \frac{\sin (x)}{{(4 - \cos (x))}^{3}} d x$

Этап 1

Пусть $u = 4 - \cos (x)$ . Тогда $d u = \sin (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 4 - \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $4 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [4 - \cos (x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $4 - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Этап 1.1.3.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$0 + \sin (x)$

Этап 1.1.4

Добавим $0$ и $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{3}} d u$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $u^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{3 \cdot - 1} d u$

Этап 2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int u^{- 3} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{- 3}$ по $u$ имеет вид $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- 2} + C$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $- \frac{1}{2} u^{- 2} + C$ в виде $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}} + C$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}} + C$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{1}{u^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{u^{2} \cdot 2} + C$

Этап 4.2.2

Перенесем $2$ влево от $u^{2}$ .

$- \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $4 - \cos (x)$ .

$- \frac{1}{2 {(4 - \cos (x))}^{2}} + C$