Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

Этап 1

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{2}}{u} d u$

Этап 2

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(u - 1)}^{2}$ в виде $(u - 1) (u - 1)$ .

$\int \frac{(u - 1) (u - 1)}{u} d u$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{u (u - 1) - 1 (u - 1)}{u} d u$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1)}{u} d u$

Этап 2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Этап 2.5

Изменим порядок $u$ и $- 1$ .

$\int \frac{u \cdot u - 1 \cdot u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Этап 3

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int \frac{u^{1} u - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Этап 4

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{1} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{u^{1 + 1} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \frac{u^{2} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u$

Этап 6.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int \frac{u^{2} - 1 u - 1 u + 1}{u} d u$

Этап 7

Вычтем $1 u$ из $- 1 u$ .

$\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} d u$

Этап 8

Разделим $u^{2} - 2 u + 1$ на $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$u$

$0$

$u^{2}$

$2 u$

$1$

Этап 8.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $u^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $u$ .

					$u$
	$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$

Этап 8.3

Умножим новое частное на делитель.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			+	$u^{2}$	+	$0$

Этап 8.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $u^{2} + 0$ .

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$

Этап 8.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$

Этап 8.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$

Этап 8.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 u$ на член с максимальной степенью в делителе $u$ .

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$

Этап 8.8

Умножим новое частное на делитель.

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					-	$2 u$	+	$0$

Этап 8.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 u + 0$ .

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	-	$0$

Этап 8.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	-	$0$
							+	$1$

Этап 8.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int u - 2 + \frac{1}{u} d u$

Этап 9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u d u + \int - 2 d u + \int \frac{1}{u} d u$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C + \int - 2 d u + \int \frac{1}{u} d u$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \int \frac{1}{u} d u$

Этап 12

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C$

Этап 13

Упростим.

$\frac{1}{2} u^{2} - 2 u + \ln (| u |) + C$

Этап 14

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} - 2 (x + 1) + \ln (| x + 1 |) + C$