Математический анализ Примеры

$\int (\sqrt{2} - 3 x^{2}) x d x$

Этап 1

Пусть $u = \sqrt{2} - 3 x^{2}$ . Тогда $d u = - 6 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{6} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \sqrt{2} - 3 x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\sqrt{2} - 3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2} - 3 x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $\sqrt{2} - 3 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $\sqrt{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\sqrt{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - 3 (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$0 - 6 x$

Этап 1.1.4

Вычтем $6 x$ из $0$ .

$- 6 x$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u \frac{1}{- 6} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int u (- \frac{1}{6}) d u$

Этап 2.2

Объединим $u$ и $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{u}{6} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{u}{6} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{6} \int u d u)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- \frac{1}{6} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $- \frac{1}{6} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ в виде $- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 6.2

Перепишем $- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ в виде $- \frac{1}{12} u^{2} + C$ .

$- \frac{1}{12} u^{2} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $\sqrt{2} - 3 x^{2}$ .

$- \frac{1}{12} {(\sqrt{2} - 3 x^{2})}^{2} + C$