Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{y \sqrt{y}} d y$

Этап 1

Этот интеграл не удалось вычислить с помощью замены переменной. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y \cdot y^{\frac{1}{2}}} d y$

Этап 2.1.2

Умножим $y$ на $y^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Умножим $y$ на $y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int \frac{1}{y^{1} y^{\frac{1}{2}}} d y$

Этап 2.1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{1}{y^{1 + \frac{1}{2}}} d y$

Этап 2.1.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int \frac{1}{y^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} d y$

Этап 2.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{1}{y^{\frac{2 + 1}{2}}} d y$

Этап 2.1.2.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{3}{2}}} d y$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем $y^{\frac{3}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d y$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d y$

Этап 2.2.2.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$\int y^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d y$

Этап 2.2.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 3}{2}} d y$

Этап 2.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int y^{- \frac{3}{2}} d y$

Этап 3

По правилу степени интеграл $y^{- \frac{3}{2}}$ по $y$ имеет вид $- 2 y^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 y^{- \frac{1}{2}} + C$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $- 2 y^{- \frac{1}{2}} + C$ в виде $- 2 \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} + C$ .

$- 2 \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{y^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} + C$