Математический анализ Примеры

$\int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 1

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{u - 1}{u} d u$

Этап 2

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int \frac{u}{u} + \frac{- 1}{u} d u$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

Этап 4.1.2

Перепишем это выражение.

$\int d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

Этап 4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int d u + \int - \frac{1}{u} d u$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$u + C + \int - \frac{1}{u} d u$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$u + C - \int \frac{1}{u} d u$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$u + C - (\ln (| u |) + C)$

Этап 8

Упростим.

$u - \ln (| u |) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$x + 1 - \ln (| x + 1 |) + C$