Математический анализ Примеры

$\int x^{2} e^{2 x} d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int {(\frac{u_{1}}{2})}^{2} e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{u_{1}}$ .

$\int {(\frac{u_{1}}{2})}^{2} \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}$

Этап 3

Пусть $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Тогда $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , следовательно $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Этап 3.1.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $\frac{u_{1}}{2}$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 3.1.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{2} e^{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = {u_{2}}^{2}$ и $d v = e^{2 u_{2}}$ .

${u_{2}}^{2} (\frac{1}{2} e^{u_{3}}) - \int \frac{1}{2} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{u_{3}}$ .

${u_{2}}^{2} \frac{e^{u_{3}}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

Этап 5.2

Объединим ${u_{2}}^{2}$ и $\frac{e^{u_{3}}}{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2} e^{u_{3}} \cdot 2$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2} e^{u_{3}} \cdot 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (\frac{1}{2} e^{u_{3}} \cdot 2 \int u_{2} d u_{2})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{u_{3}}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (\frac{e^{u_{3}}}{2} \cdot 2 \int u_{2} d u_{2})$

Этап 7.2

Объединим $\frac{e^{u_{3}}}{2}$ и $2$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (\frac{e^{u_{3}} \cdot 2}{2} \int u_{2} d u_{2})$

Этап 7.3

Перенесем $2$ влево от $e^{u_{3}}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (\frac{2 \cdot e^{u_{3}}}{2} \int u_{2} d u_{2})$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (\frac{2 e^{u_{3}}}{2} \int u_{2} d u_{2})$

Этап 7.4.2

Разделим $e^{u_{3}}$ на $1$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (e^{u_{3}} \int u_{2} d u_{2})$

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - e^{u_{3}} \int u_{2} d u_{2}$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u_{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - e^{u_{3}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - e^{u_{3}} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$

Этап 9.2

Перепишем $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - e^{u_{3}} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$ в виде $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} + C$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} + C$

Этап 10

Избавимся от скобок.

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} e^{u_{3}} - \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} e^{u_{3}} + C$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2}}{2} e^{u_{3}} - \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} e^{u_{3}} + C$

Этап 11.2

Объединим $\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$ и $e^{u_{3}}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} e^{u_{3}} + C$

Этап 11.3

Объединим ${u_{2}}^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{{u_{2}}^{2}}{2} e^{u_{3}} + C$

Этап 11.4

Объединим $e^{u_{3}}$ и $\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{e^{u_{3}} {u_{2}}^{2}}{2} + C$

Этап 11.5

Вычтем $\frac{e^{u_{3}} {u_{2}}^{2}}{2}$ из $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Изменим порядок $e^{u_{3}}$ и ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} + C$

Этап 11.5.2

Вычтем $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2}$ из $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2}$ .

$0 + C$

Этап 11.6

Добавим $0$ и $C$ .

$C$