Математический анализ Примеры

$π \int_{0}^{2} {(3 x^{2} + 2)}^{2} d x$

Этап 1

Этот интеграл не удалось вычислить с помощью замены переменной. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Развернем ${(3 x^{2} + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(3 x^{2} + 2)}^{2}$ в виде $(3 x^{2} + 2) (3 x^{2} + 2)$ .

$π \int_{0}^{2} (3 x^{2} + 2) (3 x^{2} + 2) d x$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$π \int_{0}^{2} 3 x^{2} (3 x^{2} + 2) + 2 (3 x^{2} + 2) d x$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$π \int_{0}^{2} 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 2 + 2 (3 x^{2} + 2) d x$

Этап 2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$π \int_{0}^{2} 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 2 + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 2 d x$

Этап 2.5

Перенесем $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 2 + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 2 d x$

Этап 2.6

Перенесем $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 2 d x$

Этап 2.7

Умножим $3$ на $3$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

Этап 2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$π \int_{0}^{2} 9 x^{2 + 2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

Этап 2.9

Добавим $2$ и $2$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

Этап 2.10

Умножим $3$ на $2$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 6 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

Этап 2.11

Умножим $2$ на $3$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

Этап 2.12

Умножим $2$ на $2$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 4 d x$

Этап 2.13

Добавим $6 x^{2}$ и $6 x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 12 x^{2} + 4 d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$π (\int_{0}^{2} 9 x^{4} d x + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Этап 4

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$π (9 \int_{0}^{2} x^{4} d x + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$π (9 (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Этап 7

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 d x)$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 x]_{0}^{2})$

Этап 11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем значение $\frac{x^{5}}{5}$ в $2$ и в $0$ .

$π (9 ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 x]_{0}^{2})$

Этап 11.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $0$ .

$π (9 (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 x]_{0}^{2})$

Этап 11.3

Найдем значение $4 x$ в $2$ и в $0$ .

$π (9 (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Возведем $2$ в степень $5$ .

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{0}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.3

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.3.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{5 (0)}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{0}{1}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$π (9 (\frac{32}{5} - 0) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$π (9 (\frac{32}{5} + 0) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.5

Добавим $\frac{32}{5}$ и $0$ .

$π (9 (\frac{32}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.6

Объединим $9$ и $\frac{32}{5}$ .

$π (\frac{9 \cdot 32}{5} + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.7

Умножим $9$ на $32$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.8

Возведем $2$ в степень $3$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.10

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.10.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.10.2.2

Сократим общий множитель.

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.10.2.3

Перепишем это выражение.

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - 0) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} + 0) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.12

Добавим $\frac{8}{3}$ и $0$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.13

Объединим $12$ и $\frac{8}{3}$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{12 \cdot 8}{3} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.14

Умножим $12$ на $8$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{96}{3} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.15

Сократим общий множитель $96$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.15.1

Вынесем множитель $3$ из $96$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{3 \cdot 32}{3} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.15.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{3 \cdot 32}{3 (1)} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.15.2.2

Сократим общий множитель.

$π (\frac{288}{5} + \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.15.2.3

Перепишем это выражение.

$π (\frac{288}{5} + \frac{32}{1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.15.2.4

Разделим $32$ на $1$ .

$π (\frac{288}{5} + 32 + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.16

Чтобы записать $32$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{288}{5} + 32 \cdot \frac{5}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.17

Объединим $32$ и $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{32 \cdot 5}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$π (\frac{288 + 32 \cdot 5}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.19.1

Умножим $32$ на $5$ .

$π (\frac{288 + 160}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.19.2

Добавим $288$ и $160$ .

$π (\frac{448}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.20

Умножим $4$ на $2$ .

$π (\frac{448}{5} + 8 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.21

Умножим $- 4$ на $0$ .

$π (\frac{448}{5} + 8 + 0)$

Этап 11.4.22

Добавим $8$ и $0$ .

$π (\frac{448}{5} + 8)$

Этап 11.4.23

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{448}{5} + 8 \cdot \frac{5}{5})$

Этап 11.4.24

Объединим $8$ и $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{448}{5} + \frac{8 \cdot 5}{5})$

Этап 11.4.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$π \frac{448 + 8 \cdot 5}{5}$

Этап 11.4.26

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.26.1

Умножим $8$ на $5$ .

$π \frac{448 + 40}{5}$

Этап 11.4.26.2

Добавим $448$ и $40$ .

$π \frac{488}{5}$

Этап 11.4.27

Объединим $π$ и $\frac{488}{5}$ .

$\frac{π \cdot 488}{5}$

Этап 11.4.28

Перенесем $488$ влево от $π$ .

$\frac{488 π}{5}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{488 π}{5}$

Десятичная форма:

$306.61944299 \dots$

Этап 13