Математический анализ Примеры

$\int 2 e^{2 x} {(e^{2 x} - 5)}^{7} d x$

Этап 1

Пусть $u_{2} = e^{2 x} - 5$ . Тогда $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ , следовательно $\frac{1}{2 e^{2 x}} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = e^{2 x} - 5$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $e^{2 x} - 5$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} - 5]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $e^{2 x} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.3.5

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 e^{2 x} + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $2 e^{2 x}$ и $0$ .

$2 e^{2 x}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{7} d u_{2}$

Этап 2

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{7}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{8} {u_{2}}^{8}$ .

$\frac{1}{8} {u_{2}}^{8} + C$

Этап 3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{2 x} - 5$ .

$\frac{1}{8} {(e^{2 x} - 5)}^{8} + C$