Математический анализ Примеры

$\int \sqrt{1 + x^{2}} x^{5} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Этап 1.1.5

Добавим $0$ и $2 x$ .

$2 x$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \sqrt{u} {\sqrt{u - 1}}^{4} \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${\sqrt{u - 1}}^{4}$ в виде ${(u - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u - 1}$ в виде ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{u} {({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{4} \frac{1}{2} d u$

Этап 2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{u} {(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 4} \frac{1}{2} d u$

Этап 2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\int \sqrt{u} {(u - 1)}^{\frac{4}{2}} \frac{1}{2} d u$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\int \sqrt{u} {(u - 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} \frac{1}{2} d u$

Этап 2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int \sqrt{u} {(u - 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} \frac{1}{2} d u$

Этап 2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \sqrt{u} {(u - 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} \frac{1}{2} d u$

Этап 2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \sqrt{u} {(u - 1)}^{\frac{2}{1}} \frac{1}{2} d u$

Этап 2.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\int \sqrt{u} {(u - 1)}^{2} \frac{1}{2} d u$

Этап 2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} {(u - 1)}^{2} d u$

Этап 2.3

Объединим $\frac{\sqrt{u}}{2}$ и ${(u - 1)}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u} {(u - 1)}^{2}}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} {(u - 1)}^{2} d u$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = {(u - 1)}^{2}$ и $dv = \sqrt{u}$ .

$\frac{1}{2} ({(u - 1)}^{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} (2 u - 2) d u)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} ({(u - 1)}^{2} \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} (2 u - 2) d u)$

Этап 5.2

Объединим ${(u - 1)}^{2}$ и $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{{(u - 1)}^{2} (2 u^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} (2 u - 2) d u)$

Этап 5.3

Перенесем $2$ влево от ${(u - 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} (2 u - 2) d u)$

Этап 5.4

Объединим $\frac{2}{3}$ и $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} (2 u - 2) d u)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} (2 u) + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 2 d u)$

Этап 6.2

Изменим порядок $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ и $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 \cdot \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} u + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 2 d u)$

Этап 6.3

Изменим порядок $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ и $- 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 \cdot \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} u - 2 \cdot \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

Этап 6.4

Объединим $2$ и $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 (2 u^{\frac{3}{2}})}{3} u - 2 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

Этап 6.5

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3} u - 2 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

Этап 6.6

Объединим $\frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ и $u$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 u^{\frac{3}{2}} u}{3} - 2 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

Этап 6.7

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 (u^{\frac{3}{2}} u^{1})}{3} - 2 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

Этап 6.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 u^{\frac{3}{2} + 1}}{3} - 2 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

Этап 6.9

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3} - 2 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

Этап 6.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 u^{\frac{3 + 2}{2}}}{3} - 2 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

Этап 6.11

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} - 2 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

Этап 6.12

Объединим $- 2$ и $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 2 (2 u^{\frac{3}{2}})}{3} d u)$

Этап 6.13

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 4 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u)$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - (\int \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} d u + \int - \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u))$

Этап 9

Поскольку $\frac{4}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{4}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} d u + \int - \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u))$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{\frac{5}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) + \int - \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u))$

Этап 11

Объединим $\frac{2}{7}$ и $u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int - \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u))$

Этап 12

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - \int \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3} d u))$

Этап 13

Поскольку $\frac{4}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{4}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - (\frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u)))$

Этап 14

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - \frac{4}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)))$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $\frac{2}{5}$ и $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C)))$

Этап 15.2

Упростим.

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{8 u^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Этап 16

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{21} u^{\frac{7}{2}} + \frac{8}{15} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Этап 17

Перепишем $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {(u - 1)}^{2} u^{\frac{3}{2}} - \frac{8}{21} u^{\frac{7}{2}} + \frac{8}{15} u^{\frac{5}{2}}) + C$ в виде $\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{8 u^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{8 u^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Этап 18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Чтобы записать $\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{3} \cdot \frac{7}{7} - \frac{8 u^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Этап 18.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $21$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Умножим $\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{3}$ на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}} \cdot 7}{3 \cdot 7} - \frac{8 u^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Этап 18.2.2

Умножим $3$ на $7$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}} \cdot 7}{21} - \frac{8 u^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Этап 18.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}} \cdot 7 - 8 u^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Этап 18.4

Умножим $7$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{14 u^{\frac{7}{2}} - 8 u^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Этап 18.5

Вычтем $8 u^{\frac{7}{2}}$ из $14 u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{6 u^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Этап 18.6

Вынесем множитель $3$ из $6 u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 u^{\frac{7}{2}})}{21} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Этап 18.7

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.7.1

Вынесем множитель $3$ из $21$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 u^{\frac{7}{2}})}{3 (7)} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Этап 18.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (\frac{3 (2 u^{\frac{7}{2}})}{3 \cdot 7} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Этап 18.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Этап 18.8

Чтобы записать $- \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Этап 18.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.9.1

Умножим $\frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Этап 18.9.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{15} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Этап 18.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}} \cdot 5 + 8 u^{\frac{5}{2}}}{15} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Этап 18.11

Умножим $5$ на $- 4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{- 20 u^{\frac{5}{2}} + 8 u^{\frac{5}{2}}}{15} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Этап 18.12

Добавим $- 20 u^{\frac{5}{2}}$ и $8 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{- 12 u^{\frac{5}{2}}}{15} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Этап 18.13

Вынесем множитель $3$ из $- 12 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{15} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Этап 18.14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.14.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 (5)} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Этап 18.14.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Этап 18.14.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Этап 18.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Этап 19

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{4 {(1 + x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Этап 20

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{7} {(1 + x^{2})}^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5} {(1 + x^{2})}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$