Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{9}}{1 + x^{20}} d x$

Этап 1

Перепишем $x^{20}$ в виде ${(x^{10})}^{2}$ .

$\int \frac{x^{9}}{1 + {(x^{10})}^{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u = x^{10}$ . Тогда $d u = 10 x^{9} d x$ , следовательно $\frac{1}{10} d u = x^{9} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x^{10}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x^{10}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{10}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 10$ .

$10 x^{9}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{1}{10} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{1 + u^{2}}$ на $\frac{1}{10}$ .

$\int \frac{1}{(1 + u^{2}) \cdot 10} d u$

Этап 3.2

Перенесем $10$ влево от $1 + u^{2}$ .

$\int \frac{1}{10 (1 + u^{2})} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{10}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{10}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{10} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

Этап 5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{10} \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ по $u$ имеет вид $\arctan (u) + C$ .

$\frac{1}{10} (\arctan (u) + C)$

Этап 7

Упростим.

$\frac{1}{10} \arctan (u) + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{10}$ .

$\frac{1}{10} \arctan (x^{10}) + C$