Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{4} \frac{x}{\sqrt{1 + 2 x}} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 + 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 + 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$0 + 2$

Этап 1.1.4

Добавим $0$ и $2$ .

$2$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + 2 x$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + 2 x$ .

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 4$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $2$ на $4$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Этап 1.5.2

Добавим $1$ и $8$ .

$u_{upper} = 9$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{9} \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} d u$

Этап 2.2

Объединим.

$\int_{1}^{9} \frac{2 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{1}^{9} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сократим общий множитель.

$\int_{1}^{9} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.4.2

Перепишем это выражение.

$\int_{1}^{9} \frac{u + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u - 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.6

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u + \frac{- 2}{2}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.7

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\int_{1}^{9} \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\int_{1}^{9} \frac{u + \frac{- 1}{1}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.7.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u - 1}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.8

Умножим $\frac{u - 1}{2 \sqrt{u}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u - 1}{2 \sqrt{u} \cdot 2} d u$

Этап 2.9

Умножим $2$ на $2$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u - 1}{4 \sqrt{u}} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 4.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 4.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 4.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5

Развернем $(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5.2

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5.6

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{4} (\int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{9} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} + \int_{1}^{9} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} - (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}))$

Этап 10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $9$ и в $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}))$

Этап 10.2

Найдем значение $2 u^{\frac{1}{2}}$ в $9$ и в $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.3.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $27$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4.2

Умножим $2$ на $27$ .

$\frac{1}{4} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4.3

Сократим общий множитель $54$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.1

Вынесем множитель $3$ из $54$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4.3.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1 - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.6.2

Объединим $18$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{4} (\frac{18 \cdot 3 - 2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.4.1

Умножим $18$ на $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{54 - 2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.6.4.2

Вычтем $2$ из $54$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.7.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.7.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.7.4

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.8.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (6 - 2 \cdot 1))$

Этап 10.8.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (6 - 2))$

Этап 10.8.4

Вычтем $2$ из $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - 1 \cdot 4)$

Этап 10.8.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - 4)$

Этап 10.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.1

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3})$

Этап 10.9.2

Объединим $- 4$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3})$

Этап 10.9.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{52 - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 10.9.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.4.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{52 - 12}{3}$

Этап 10.9.4.2

Вычтем $12$ из $52$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{40}{3}$

Этап 10.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.10.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{40}{3}$ .

$\frac{40}{4 \cdot 3}$

Этап 10.10.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{40}{12}$

Этап 10.10.3

Сократим общий множитель $40$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.10.3.1

Вынесем множитель $4$ из $40$ .

$\frac{4 (10)}{12}$

Этап 10.10.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.10.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{4 \cdot 10}{4 \cdot 3}$

Этап 10.10.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 10}{4 \cdot 3}$

Этап 10.10.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{10}{3}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{10}{3}$

Десятичная форма:

$3.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$3 \frac{1}{3}$