Математический анализ Примеры

$\int x^{2} e^{- x} d x$

Этап 1

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - {(- u)}^{2} e^{u} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u$ .

$\int - {(- (u))}^{2} e^{u} d u$

Этап 2.2

Применим правило умножения к $- (u)$ .

$\int - ({(- 1)}^{2} u^{2}) e^{u} d u$

Этап 2.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\int - (1 u^{2}) e^{u} d u$

Этап 2.4

Умножим $u^{2}$ на $1$ .

$\int - u^{2} e^{u} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int u^{2} e^{u} d u$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = u^{2}$ и $dv = e^{u}$ .

$- (u^{2} e^{u} - \int e^{u} (2 u) d u)$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- (u^{2} e^{u} - (2 \int e^{u} (u) d u))$

Этап 6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 \int e^{u} (u) d u)$

Этап 7

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = u$ и $dv = e^{u}$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - \int e^{u} d u))$

Этап 8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - (e^{u} + C)))$

Этап 9

Перепишем $- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - (e^{u} + C)))$ в виде $- (u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} + 2 e^{u}) + C$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} + 2 e^{u}) + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$- ({(- x)}^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$- ({(- 1)}^{2} x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Этап 11.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- (1 x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Этап 11.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$- (x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Этап 11.1.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- (x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Этап 11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x^{2} e^{- x}) - (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C$

Этап 11.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- x^{2} e^{- x} - 2 (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C$

Этап 11.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- x^{2} e^{- x} - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + C$

$- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C$