Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{4 + r^{2}}} d r$

Этап 1

Пусть $u = 4 + r^{2}$ . Тогда $d u = 2 r d r$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = r d r$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 4 + r^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d r}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $4 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $4 + r^{2}$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Этап 1.1.3

Поскольку $4$ является константой относительно $r$ , производная $4$ относительно $r$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Этап 1.1.5

Добавим $0$ и $2 r$ .

$2 r$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $r$ в $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $4$ и $0$ .

$u_{lower} = 4$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $r$ в $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + 1^{2}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 4 + 1$

Этап 1.5.2

Добавим $4$ и $1$ .

$u_{upper} = 5$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 5$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{4}^{5} \frac{{\sqrt{u - 4}}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${\sqrt{u - 4}}^{2}$ в виде $u - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u - 4}$ в виде ${(u - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{5} \frac{{({(u - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{4}^{5} \frac{{(u - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int_{4}^{5} \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\int_{4}^{5} \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\int_{4}^{5} \frac{{(u - 4)}^{1}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.1.5

Упростим.

$\int_{4}^{5} \frac{u - 4}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.2

Умножим $\frac{u - 4}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{5} \frac{u - 4}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Этап 2.3

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{u}$ .

$\int_{4}^{5} \frac{u - 4}{2 \sqrt{u}} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} \frac{u - 4}{\sqrt{u}} d u$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} \frac{u - 4}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 4.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} (u - 4) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 4.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} (u - 4) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 4.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} (u - 4) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} (u - 4) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5

Развернем $(u - 4) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5.2

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{1 - \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5.6

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{\frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int_{4}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{4}^{5} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{5} + \int_{4}^{5} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Этап 8

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{5} - 4 \int_{4}^{5} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{5} - 4 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{5}))$

Этап 10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $5$ и в $4$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 4 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{5}))$

Этап 10.2

Найдем значение $2 u^{\frac{1}{2}}$ в $5$ и в $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.3

Объединим $\frac{2}{3}$ и $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8 - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 (\frac{2}{3}) - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4.2.2

Объединим $- 8$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4.2.3

Умножим $- 8$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Этап 10.4.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}))$

Этап 10.4.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}))$

Этап 10.4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2^{1}))$

Этап 10.4.3.4

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2))$

Этап 10.4.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4))$

Этап 10.4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.5.1

Чтобы записать $- 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4) \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

Этап 10.4.5.2

Объединим $- 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4)$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4) \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

Этап 10.4.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4) \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

Этап 10.4.5.4

Умножим $3$ на $- 4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} - 12 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4)}{3} - \frac{16}{3})$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} - 12 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4)}{3} - \frac{16}{3})$

Десятичная форма:

$0.11584138 \dots$