Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{2} - 3}{{(x + 1)}^{3}} d x$

Этап 1

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{2} - 3}{u^{3}} d u$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $u^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int ({(u - 1)}^{2} - 3) {(u^{3})}^{- 1} d u$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int ({(u - 1)}^{2} - 3) u^{3 \cdot - 1} d u$

Этап 2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int ({(u - 1)}^{2} - 3) u^{- 3} d u$

Этап 3

Развернем $({(u - 1)}^{2} - 3) u^{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${(u - 1)}^{2}$ в виде $(u - 1) (u - 1)$ .

$\int ((u - 1) (u - 1) - 3) u^{- 3} d u$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (u (u - 1) - 1 (u - 1) - 3) u^{- 3} d u$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1) - 3) u^{- 3} d u$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1 - 3) u^{- 3} d u$

Этап 3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1) u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Этап 3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u^{- 3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Этап 3.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u \cdot u \cdot u^{- 3} + u \cdot - 1 u^{- 3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Этап 3.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u \cdot u \cdot u^{- 3} + u \cdot - 1 u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Этап 3.9

Изменим порядок $u$ и $- 1$ .

$\int u \cdot u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Этап 3.10

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Этап 3.11

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Этап 3.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{1 + 1} u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Этап 3.13

Добавим $1$ и $1$ .

$\int u^{2} u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Этап 3.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{2 - 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Этап 3.15

Вычтем $3$ из $2$ .

$\int u^{- 1} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Этап 3.16

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int u^{- 1} - (u \cdot u^{- 3}) - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Этап 3.17

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{- 1} - (u^{1} u^{- 3}) - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Этап 3.18

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{- 1} - u^{1 - 3} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Этап 3.19

Вычтем $3$ из $1$ .

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - 1 u \cdot u^{- 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Этап 3.20

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - (u \cdot u^{- 3}) - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Этап 3.21

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - (u^{1} u^{- 3}) - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Этап 3.22

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{1 - 3} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Этап 3.23

Вычтем $3$ из $1$ .

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{- 2} - 1 \cdot - 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Этап 3.24

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{- 2} + 1 u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Этап 3.25

Умножим $u^{- 3}$ на $1$ .

$\int u^{- 1} - u^{- 2} - u^{- 2} + u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Этап 3.26

Вычтем $u^{- 2}$ из $- u^{- 2}$ .

$\int u^{- 1} - 2 u^{- 2} + u^{- 3} - 3 u^{- 3} d u$

Этап 3.27

Вычтем $3 u^{- 3}$ из $u^{- 3}$ .

$\int u^{- 1} - 2 u^{- 2} - 2 u^{- 3} d u$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{- 1} d u + \int - 2 u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 3} d u$

Этап 5

Интеграл $u^{- 1}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C + \int - 2 u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 3} d u$

Этап 6

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| u |) + C - 2 \int u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 3} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) + \int - 2 u^{- 3} d u$

Этап 8

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 \int u^{- 3} d u$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{- 3}$ по $u$ имеет вид $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Объединим $u^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 (- \frac{u^{- 2}}{2} + C)$

Этап 10.1.2

Перенесем $u^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| u |) + C - 2 (- u^{- 1} + C) - 2 (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

Этап 10.2

Упростим.

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} - 2 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C$

Этап 10.3

Перепишем $\ln (| u |) + \frac{2}{u} - 2 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C$ в виде $\ln (| u |) + \frac{2}{u} - \frac{- 1}{u^{2}} + C$ .

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} - \frac{- 1}{u^{2}} + C$

Этап 10.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} - - \frac{1}{u^{2}} + C$

Этап 10.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} + 1 \frac{1}{u^{2}} + C$

Этап 10.4.3

Умножим $\frac{1}{u^{2}}$ на $1$ .

$\ln (| u |) + \frac{2}{u} + \frac{1}{u^{2}} + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$\ln (| x + 1 |) + \frac{2}{x + 1} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + C$