Математический анализ Примеры

$\int (x + 1) \sqrt{2 x + x^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $u = 2 x + x^{2}$ . Тогда $d u = (2 x + 2) d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = (x + 1) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 2 x + x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 x + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + x^{2}]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $2 x + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 + 2 x$

Этап 1.1.4.2

Изменим порядок членов.

$2 x + 2$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ в виде $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 6.2

Перепишем $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ в виде $\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + x^{2}$ .

$\frac{1}{3} {(2 x + x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$