Математический анализ Примеры

Интегрировать подстановкой интеграл (x^2-1) квадратный корень из 2x+1 по x
Этап 1
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1
Дифференцируем .
Этап 1.1.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.1.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.3.3
Умножим на .
Этап 1.1.4
Продифференцируем, используя правило константы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.4.1
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.1.4.2
Добавим и .
Этап 1.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 2
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Объединим и .
Этап 2.2
С помощью запишем в виде .
Этап 3
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1
Дифференцируем .
Этап 3.1.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 3.1.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.1.3.3
Умножим на .
Этап 3.1.4
Продифференцируем, используя правило константы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.4.1
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 3.1.4.2
Добавим и .
Этап 3.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 4
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.1
Дифференцируем .
Этап 4.1.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.1.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.1.3.3
Умножим на .
Этап 4.1.4
Продифференцируем, используя правило константы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.4.1
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4.1.4.2
Добавим и .
Этап 4.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 5
Объединим и .
Этап 6
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Перепишем в виде .
Этап 6.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.4
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.5
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.6
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.7
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.8
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.9
Изменим порядок и .
Этап 6.10
Перенесем .
Этап 6.11
Умножим на .
Этап 6.12
Возведем в степень .
Этап 6.13
Возведем в степень .
Этап 6.14
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 6.15
Добавим и .
Этап 6.16
Умножим на .
Этап 6.17
Умножим на .
Этап 6.18
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 6.19
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 6.20
Объединим и .
Этап 6.21
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 6.22
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.22.1
Умножим на .
Этап 6.22.2
Добавим и .
Этап 6.23
Умножим на .
Этап 6.24
Объединим и .
Этап 6.25
Умножим на .
Этап 6.26
Объединим и .
Этап 6.27
Возведем в степень .
Этап 6.28
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 6.29
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 6.30
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 6.31
Добавим и .
Этап 6.32
Умножим на .
Этап 6.33
Объединим и .
Этап 6.34
Умножим на .
Этап 6.35
Объединим и .
Этап 6.36
Возведем в степень .
Этап 6.37
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 6.38
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 6.39
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 6.40
Добавим и .
Этап 6.41
Умножим на .
Этап 6.42
Умножим на .
Этап 6.43
Умножим на .
Этап 6.44
Умножим на .
Этап 6.45
Умножим на .
Этап 6.46
Умножим на .
Этап 6.47
Умножим на .
Этап 6.48
Изменим порядок и .
Этап 7
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Перепишем в виде .
Этап 7.2
Перепишем в виде произведения.
Этап 7.3
Умножим на .
Этап 7.4
Умножим на .
Этап 7.5
Вычтем из .
Этап 7.6
Объединим и .
Этап 7.7
Вынесем множитель из .
Этап 7.8
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.8.1
Вынесем множитель из .
Этап 7.8.2
Сократим общий множитель.
Этап 7.8.3
Перепишем это выражение.
Этап 7.9
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 7.10
Перепишем в виде .
Этап 8
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 9
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 10
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 11
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 12
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 13
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 14
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 15
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 16
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 17
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 18
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 19
Упростим.
Этап 20
Изменим порядок членов.
Этап 21
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 21.1
Умножим на .
Этап 21.2
Умножим на .
Этап 21.3
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 21.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 21.3.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 21.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 21.3.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 21.3.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 22
Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 22.1
Заменим все вхождения на .
Этап 22.2
Заменим все вхождения на .
Этап 22.3
Заменим все вхождения на .
Этап 23
Изменим порядок членов.