Математический анализ Примеры

$\int \frac{- 4 x}{{(1 - 2 x^{2})}^{2}} d x$

Этап 1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{4 x}{{(1 - 2 x^{2})}^{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 1 - 2 x^{2}$ . Тогда $d u = - 4 x d x$ , следовательно $\frac{1}{- 4 x} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 1 - 2 x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $1 - 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - 2 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - 2 (2 x)$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$0 - 4 x$

Этап 2.1.4

Вычтем $4 x$ из $0$ .

$- 4 x$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - - \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 3.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int 1 \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 3.1.3

Умножим $\frac{1}{u^{2}}$ на $1$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 3.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C$

Этап 5

Перепишем $- u^{- 1} + C$ в виде $- \frac{1}{u} + C$ .

$- \frac{1}{u} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $1 - 2 x^{2}$ .

$- \frac{1}{1 - 2 x^{2}} + C$