Математический анализ Примеры

$\int x^{2} {(8 x^{3} + 7)}^{2} d x$

Этап 1

Пусть $u = 8 x^{3} + 7$ . Тогда $d u = 24 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{24} d u = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 8 x^{3} + 7$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $8 x^{3} + 7$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3} + 7]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $8 x^{3} + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{3}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $8$ .

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$24 x^{2} + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $24 x^{2}$ и $0$ .

$24 x^{2}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{2} \frac{1}{24} d u$

Этап 2

Объединим $u^{2}$ и $\frac{1}{24}$ .

$\int \frac{u^{2}}{24} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{24}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{24}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{24} \int u^{2} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{24} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\frac{1}{24} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ в виде $\frac{1}{24} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$ .

$\frac{1}{24} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 5.2

Перепишем $\frac{1}{24} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$ в виде $\frac{1}{72} u^{3} + C$ .

$\frac{1}{72} u^{3} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $8 x^{3} + 7$ .

$\frac{1}{72} {(8 x^{3} + 7)}^{3} + C$