Математический анализ Примеры

$\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

Этап 1

Этот интеграл не удалось вычислить с помощью замены переменной. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Запишем интеграл в виде предела, когда $t$ стремится к $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

Этап 3

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{4^{2} + x^{2}} d x$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{4^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\arctan (\frac{x}{4})$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}]_{t}^{0}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $\frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}$ в $0$ и в $t$ .

$lim_{t \to - \infty} (\frac{\arctan (\frac{0}{4})}{4}) - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 (0)}{4})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Этап 5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Этап 5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Этап 5.2.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0)}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим дроби, используя общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0) - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Этап 6.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{0 - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Этап 6.1.2.2

Вычтем $\arctan (\frac{t}{4})$ из $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Этап 6.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Этап 6.2

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

Этап 6.3

Вынесем член $\frac{1}{4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (\frac{t}{4})$

Этап 6.4

Для многочлена нечетной степени, старший коэффициент которого положителен, предел в минус бесконечности равен минус бесконечности.

$- \frac{1}{4} - \infty$

Этап 6.5

Подставим $t$ вместо $\frac{t}{4}$ и устремим $t$ к $- \infty$ , так как $lim_{t \to - \infty} \frac{t}{4} = - \infty$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (t)$

Этап 6.6

Предел, когда $t$ стремится к $- \infty$ , равен $- \frac{π}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot - 1 \frac{π}{2}$

Этап 6.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Умножим $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{π}{2}$

Этап 6.7.1.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 6.7.2

Умножим $\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{4 \cdot 2}$

Этап 6.7.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{π}{8}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π}{8}$

Десятичная форма:

$0.39269908 \dots$