Математический анализ Примеры

$\int \frac{4 x}{2 x^{2} + 6} d x$

Этап 1

Сократим общий множитель $4$ и $2 x^{2} + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$\int \frac{2 (2 x)}{2 x^{2} + 6} d x$

Этап 1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\int \frac{2 (2 x)}{2 (x^{2}) + 6} d x$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\int \frac{2 (2 x)}{2 x^{2} + 2 \cdot 3} d x$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 \cdot 3$ .

$\int \frac{2 (2 x)}{2 (x^{2} + 3)} d x$

Этап 1.2.4

Сократим общий множитель.

$\int \frac{2 (2 x)}{2 (x^{2} + 3)} d x$

Этап 1.2.5

Перепишем это выражение.

$\int \frac{2 x}{x^{2} + 3} d x$

Этап 2

Пусть $u = x^{2} + 3$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2 x} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x^{2} + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Этап 3

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 3$ .

$\ln (| x^{2} + 3 |) + C$