Математический анализ Примеры

$\int 6 x^{2} \sqrt{3 x^{3} - 1} d x$

Этап 1

Пусть $u = 3 x^{3} - 1$ . Тогда $d u = 9 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 3 x^{3} - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $3 x^{3} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} - 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $3 x^{3} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$9 x^{2} + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $9 x^{2}$ и $0$ .

$9 x^{2}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int 6 \sqrt{u} \frac{1}{9} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{9}$ и $6$ .

$\int \frac{6}{9} \sqrt{u} d u$

Этап 2.2

Объединим $\frac{6}{9}$ и $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{6 \sqrt{u}}{9} d u$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $6$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6 \sqrt{u}$ .

$\int \frac{3 (2 \sqrt{u})}{9} d u$

Этап 2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\int \frac{3 (2 \sqrt{u})}{3 (3)} d u$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{3 (2 \sqrt{u})}{3 \cdot 3} d u$

Этап 2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{3} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} \int \sqrt{u} d u$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{2}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ в виде $\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 6.2

Перепишем $\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ в виде $\frac{4}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{4}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{3} - 1$ .

$\frac{4}{9} {(3 x^{3} - 1)}^{\frac{3}{2}} + C$