Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x^{4}}}}{x^{5}} d x$

Этап 1

Пусть $u = \frac{1}{x^{4}}$ . Тогда $d u = - \frac{4}{x^{5}} d x$ , следовательно $1 d u = - \frac{4}{x^{5}} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \frac{1}{x^{4}}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Этап 1.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{4}}$ в виде ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Этап 1.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Этап 1.1.2.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 4$ .

$- 4 x^{- 5}$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{5}}$

Этап 1.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 4}{x^{5}}$

Этап 1.1.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{x^{5}}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{1}{x^{4}}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{1^{4}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

Этап 1.3.2

Разделим $1$ на $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{1}{x^{4}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2^{4}}$

Этап 1.5

Возведем $2$ в степень $4$ .

$u_{upper} = \frac{1}{16}$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{16}$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{\frac{1}{16}} - \frac{1}{4} e^{u} d u$

Этап 2

Поскольку $- \frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- \frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{4} \int_{1}^{\frac{1}{16}} e^{u} d u$

Этап 3

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{1}{4} e^{u}]_{1}^{\frac{1}{16}}$

Этап 4

Найдем значение $e^{u}$ в $\frac{1}{16}$ и в $1$ .

$- \frac{1}{4} ((e^{\frac{1}{16}}) - e^{1})$

Этап 5

Упростим.

$- \frac{1}{4} (e^{\frac{1}{16}} - e)$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{4} \cdot (e^{\frac{1}{16}} - e)$

Десятичная форма:

$0.41344684 \dots$