Математический анализ Примеры

$\int x \sqrt{1 + x} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 + x$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 + x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 1.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int (u - 1) \sqrt{u} d u$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (u - 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3

Развернем $(u - 1) u^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.2

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.6

Добавим $2$ и $1$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C + \int - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 8

Упростим.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x$ .

$\frac{2}{5} {(1 + x)}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} {(1 + x)}^{\frac{3}{2}} + C$