Математический анализ Примеры

$\int_{\ln (2)}^{\ln (8)} \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 + e^{x}$ . Тогда $d u = e^{x} d x$ , следовательно $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 + e^{x}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Этап 1.1.4

Добавим $0$ и $e^{x}$ .

$e^{x}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + e^{x}$ .

$u_{lower} = 1 + e^{\ln (2)}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$u_{lower} = 1 + 2$

Этап 1.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$u_{lower} = 3$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + e^{x}$ .

$u_{upper} = 1 + e^{\ln (8)}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$u_{upper} = 1 + 8$

Этап 1.5.2

Добавим $1$ и $8$ .

$u_{upper} = 9$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 9$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{3}^{9} \frac{1}{u} d u$

Этап 2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{3}^{9}$

Этап 3

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $9$ и в $3$ .

$(\ln (| 9 |)) - \ln (| 3 |)$

Этап 4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 9 |}{| 3 |})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $9$ равно $9$ .

$\ln (\frac{9}{| 3 |})$

Этап 5.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\ln (\frac{9}{3})$

Этап 5.3

Разделим $9$ на $3$ .

$\ln (3)$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (3)$

Десятичная форма:

$1.09861228 \dots$