Математический анализ Примеры

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} d x$

Этап 1

Этот интеграл не удалось вычислить с помощью замены переменной. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Развернем ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(x^{2} + 1)}^{2}$ в виде $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\int (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) d x$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1) d x$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1) d x$

Этап 2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Этап 2.5

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$\int x^{2} x^{2} + 1 \cdot x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{2 + 2} + 1 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Этап 2.7

Добавим $2$ и $2$ .

$\int x^{4} + 1 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Этап 2.8

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\int x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Этап 2.9

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\int x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Этап 2.10

Умножим $1$ на $1$ .

$\int x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 d x$

Этап 2.11

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\int x^{4} + 2 x^{2} + 1 d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{4} d x + \int 2 x^{2} d x + \int d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int 2 x^{2} d x + \int d x$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 \int x^{2} d x + \int d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + x + C$

Этап 8.2

Упростим.

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + x + C$

Этап 8.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3} + x + C$