Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{5} \sqrt{y + 4} d y$

Этап 1

Пусть $u = y + 4$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = y + 4$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [y + 4]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $y + 4$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 1.1.4

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $y$ в $u = y + 4$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Этап 1.3

Добавим $0$ и $4$ .

$u_{lower} = 4$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $y$ в $u = y + 4$ .

$u_{upper} = 5 + 4$

Этап 1.5

Добавим $5$ и $4$ .

$u_{upper} = 9$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 9$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{4}^{9} \sqrt{u} d u$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9}$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $9$ и в $4$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $27$ .

$\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $27$ .

$\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $54$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $54$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.3.3.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 4.4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Сократим общий множитель.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 4.4.3.2

Перепишем это выражение.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{3}$

Этап 4.4.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 8$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $8$ на $- 1$ .

$18 - 8 (\frac{2}{3})$

Этап 4.5.2

Объединим $- 8$ и $\frac{2}{3}$ .

$18 + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

Этап 4.5.3

Умножим $- 8$ на $2$ .

$18 + \frac{- 16}{3}$

Этап 4.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$18 - \frac{16}{3}$

Этап 4.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}$

Этап 4.6.2

Объединим $18$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}$

Этап 4.6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{18 \cdot 3 - 16}{3}$

Этап 4.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.4.1

Умножим $18$ на $3$ .

$\frac{54 - 16}{3}$

Этап 4.6.4.2

Вычтем $16$ из $54$ .

$\frac{38}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{38}{3}$

Десятичная форма:

$12.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$12 \frac{2}{3}$