Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{e} \frac{\ln^{2} (x)}{x} d x$

Этап 1

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Этап 1.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e)$

Этап 1.5

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{1} u^{2} d u$

Этап 2

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\frac{1}{3} u^{3}$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Этап 3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Этап 3.2.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Этап 3.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} + 0 (\frac{1}{3})$

Этап 3.3.2

Умножим $0$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} + 0$

Этап 3.4

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{3}$

Десятичная форма:

$0.\overline{3}$