Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{3} (x + 1) e^{x^{2} + 2 x} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{2} + 2 x$ . Тогда $d u = (2 x + 2) d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = (x + 1) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{2} + 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 x + 2$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} + 2 x$ .

$u_{lower} = 1^{2} + 2 \cdot 1$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 1$

Этап 1.3.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u_{lower} = 1 + 2$

Этап 1.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$u_{lower} = 3$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} + 2 x$ .

$u_{upper} = 3^{2} + 2 \cdot 3$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$u_{upper} = 9 + 2 \cdot 3$

Этап 1.5.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$u_{upper} = 9 + 6$

Этап 1.5.2

Добавим $9$ и $6$ .

$u_{upper} = 15$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 15$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{3}^{15} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{3}^{15} \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{3}^{15} e^{u} d u$

Этап 4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} e^{u}]_{3}^{15}$

Этап 5

Найдем значение $e^{u}$ в $15$ и в $3$ .

$\frac{1}{2} (e^{15} - e^{3})$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2} \cdot (e^{15} - e^{3})$

Десятичная форма:

$1634498.64346759$