Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) \cos^{3} (x) d x$

Этап 1

Пусть $u = \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Этап 1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Этап 1.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - 1 u^{3} d u$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} u^{3} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $\frac{1}{4} u^{4}$ в $\frac{1}{2}$ и в $1$ .

$- ((\frac{1}{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $\frac{1}{4}$ в виде $4^{- 1}$ .

$- (4^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Этап 4.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- ({(2^{2})}^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Этап 4.2.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2^{2 \cdot - 1} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Этап 4.2.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- (2^{- 2} {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Этап 4.2.5

Перепишем $\frac{1}{2}$ в виде $2^{- 1}$ .

$- (2^{- 2} {(2^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Этап 4.2.6

Возведем $2$ в степень $1$ .

$- (2^{- 2} {({(2^{1})}^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Этап 4.2.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2^{- 2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Этап 4.2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- (2^{- 2} {(2^{- 1})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Этап 4.2.9

Перемножим экспоненты в ${(2^{- 1})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.9.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2^{- 2} \cdot 2^{- 1 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Этап 4.2.9.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- (2^{- 2} \cdot 2^{- 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Этап 4.2.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- (2^{- 2 - 4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Этап 4.2.11

Вычтем $4$ из $- 2$ .

$- (2^{- 6} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Этап 4.2.12

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\frac{1}{2^{6}} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Этап 4.2.13

Возведем $2$ в степень $6$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot 1)$

Этап 4.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4})$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Чтобы записать $- \frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{16})$

Этап 4.4.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $64$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{16}{16}$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{16}{4 \cdot 16})$

Этап 4.4.2.2

Умножим $4$ на $16$ .

$- (\frac{1}{64} - \frac{16}{64})$

Этап 4.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1 - 16}{64}$

Этап 4.4.4

Вычтем $16$ из $1$ .

$- \frac{- 15}{64}$

Этап 4.4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{15}{64}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{15}{64})$

Этап 4.5.2

Умножим $\frac{15}{64}$ на $1$ .

$\frac{15}{64}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{15}{64}$

Десятичная форма:

$0.234375$