Математический анализ Примеры

$\int (2 x + 1) \sqrt{x - 5} d x$

Этап 1

Пусть $u = x - 5$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x - 5$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int (2 (u + 5) + 1) \sqrt{u} d u$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (2 (u + 5) + 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3

Развернем $(2 (u + 5) + 1) u^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (2 u + 2 \cdot 5 + 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (2 u + 2 \cdot 5) u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 2 u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.4

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int 2 (u^{1} u^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 2 u^{1 + \frac{1}{2}} + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int 2 u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int 2 u^{\frac{2 + 1}{2}} + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.8

Добавим $2$ и $1$ .

$\int 2 u^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 5 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.9

Умножим $2$ на $5$ .

$\int 2 u^{\frac{3}{2}} + 10 u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.10

Умножим $u^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\int 2 u^{\frac{3}{2}} + 10 u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.11

Добавим $10 u^{\frac{1}{2}}$ и $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 2 u^{\frac{3}{2}} + 11 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.12

Изменим порядок $2 u^{\frac{3}{2}}$ и $11 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 11 u^{\frac{1}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 11 u^{\frac{1}{2}} d u + \int 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 5

Поскольку $11$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $11$ из-под знака интеграла.

$11 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$11 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$11 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + 2 \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$11 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + 2 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$11 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 9.2

Перепишем $11 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$ в виде $\frac{22}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{22}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим $2$ и $\frac{2}{5}$ .

$\frac{22}{3} u^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot 2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 9.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{22}{3} u^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $x - 5$ .

$\frac{22}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{5} {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} + C$