Математический анализ Примеры

$\int x^{3} \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $u = 4 - x^{2}$ . Тогда $d u = - 2 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 4 - x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $4 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $4 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 x$

Этап 1.1.4

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$- 2 x$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int {\sqrt{- u + 4}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${\sqrt{- u + 4}}^{2}$ в виде $- u + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- u + 4}$ в виде ${(- u + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(- u + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(- u + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int {(- u + 4)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\int {(- u + 4)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\int {(- u + 4)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.1.5

Упростим.

$\int (- u + 4) \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int (- u + 4) \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 2.3

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int (- u + 4) (- \frac{\sqrt{u}}{2}) d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int (- u + 4) (\frac{\sqrt{u}}{2}) d u$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int (- u + 4) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \int - u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} + 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 5.2

Объединим $- u$ и $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \int \frac{- u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2} + 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 5.3

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$- \int \frac{- (u \cdot u^{\frac{1}{2}})}{2} + 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 5.4

Возведем $u$ в степень $1$ .

$- \int \frac{- (u^{1} u^{\frac{1}{2}})}{2} + 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 5.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \int \frac{- u^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 5.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \int \frac{- u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 5.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \int \frac{- u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 5.8

Добавим $2$ и $1$ .

$- \int \frac{- u^{\frac{3}{2}}}{2} + 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 5.9

Объединим $4$ и $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \int \frac{- u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{4 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{4 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Этап 6.2

Вынесем множитель $2$ из $4 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (2 u^{\frac{1}{2}})}{2} d u$

Этап 6.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (2 u^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} d u$

Этап 6.3.2

Сократим общий множитель.

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (2 u^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} d u$

Этап 6.3.3

Перепишем это выражение.

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 u^{\frac{1}{2}}}{1} d u$

Этап 6.3.4

Разделим $2 u^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- (\int - \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int 2 u^{\frac{1}{2}} d u)$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- (- \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int 2 u^{\frac{1}{2}} d u)$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (- (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u) + \int 2 u^{\frac{1}{2}} d u)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int 2 u^{\frac{1}{2}} d u)$

Этап 11

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + 2 \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Этап 12

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C))$

Этап 13

Упростим.

$- (- \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Этап 14

Изменим порядок членов.

$- (- \frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

Этап 15

Заменим все вхождения $u$ на $4 - x^{2}$ .

$- (- \frac{1}{5} {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Объединим ${(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ и $\frac{1}{5}$ .

$- (- \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{4}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

Этап 16.1.2

Объединим $\frac{4}{3}$ и ${(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- (- \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Этап 16.2

Чтобы записать $- \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Этап 16.3

Чтобы записать $\frac{4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Этап 16.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Умножим $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Этап 16.4.2

Умножим $5$ на $3$ .

$- (- \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + \frac{4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5}) + C$

Этап 16.4.3

Умножим $\frac{4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$- (- \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + \frac{4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5}) + C$

Этап 16.4.4

Умножим $3$ на $5$ .

$- (- \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + \frac{4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15}) + C$

Этап 16.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{- {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3 + 4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + C$

Этап 16.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.6.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- \frac{- 3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} + 4 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + C$

Этап 16.6.2

Умножим $5$ на $4$ .

$- \frac{- 3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} + 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Этап 16.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{- (3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Этап 16.8

Вынесем множитель $- 1$ из $20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{- (3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) - (- 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{15} + C$

Этап 16.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) - (- 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{- (3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{15} + C$

Этап 16.10

Перепишем $- (3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ в виде $- 1 (3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{- 1 (3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{15} + C$

Этап 16.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Этап 16.12

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Этап 16.13

Умножим $\frac{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15}$ на $1$ .

$\frac{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{15} + C$

Этап 17

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{15} (3 {(4 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} - 20 {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$