Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} x e^{- x^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Тогда $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Этап 1.1.4.2

Изменим порядок множителей в $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 0^{2}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = e^{- 0}$

Этап 1.3.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Этап 1.3.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- 1^{2}}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = e^{- 1 \cdot 1}$

Этап 1.5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{upper} = e^{- 1}$

Этап 1.5.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{e}$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{e}$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{\frac{1}{e}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{1}^{\frac{1}{e}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{\frac{1}{e}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $- \frac{1}{2} u_{2}$ в $\frac{1}{e}$ и в $1$ .

$(- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{1}{e}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 4.2.2

Перенесем $2$ влево от $e$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 4.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{1}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{2 e} + \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.31606027 \dots$