Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} \frac{3 x^{2} - 1}{x^{2}} d x$

Этап 1

Этот интеграл не удалось вычислить с помощью замены переменной. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

Этап 3

Умножим $(3 x^{2} - 1) x^{- 2}$ .

$\int_{0}^{2} 3 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перенесем $x^{- 2}$ .

$\int_{0}^{2} 3 (x^{- 2} x^{2}) - 1 x^{- 2} d x$

Этап 4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{0}^{2} 3 x^{- 2 + 2} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 4.1.3

Добавим $- 2$ и $2$ .

$\int_{0}^{2} 3 x^{0} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 4.2

Упростим $3 x^{0}$ .

$\int_{0}^{2} 3 - 1 x^{- 2} d x$

Этап 4.3

Перепишем $- 1 x^{- 2}$ в виде $- x^{- 2}$ .

$\int_{0}^{2} 3 - x^{- 2} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{2} 3 d x + \int_{0}^{2} - x^{- 2} d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - x^{- 2} d x$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 x]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} x^{- 2} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$3 x]_{0}^{2} - (- x^{- 1}]_{0}^{2})$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $3 x$ в $2$ и в $0$ .

$(3 \cdot 2) - 3 \cdot 0 - (- x^{- 1}]_{0}^{2})$

Этап 9.2

Найдем значение $- x^{- 1}$ в $2$ и в $0$ .

$3 \cdot 2 - 3 \cdot 0 - (- 2^{- 1} + 0^{- 1})$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$6 - 3 \cdot 0 - (- 2^{- 1} + 0^{- 1})$

Этап 9.3.2

Умножим $- 3$ на $0$ .

$6 + 0 - (- 2^{- 1} + 0^{- 1})$

Этап 9.3.3

Добавим $6$ и $0$ .

$6 - (- 2^{- 1} + 0^{- 1})$

Этап 9.3.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 - (- \frac{1}{2} + 0^{- 1})$

Этап 9.3.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{0})$

Этап 9.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$6 - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{0})$

Этап 9.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$6 - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{0})$

Этап 10

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные