Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} 2 x^{2} \sqrt{x^{3} + 1} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{3} + 1$ . Тогда $d u = 3 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{3} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x^{3} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$3 x^{2}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{3} + 1$ .

$u_{lower} = 1^{3} + 1$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{lower} = 1 + 1$

Этап 1.3.2

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{lower} = 2$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{3} + 1$ .

$u_{upper} = 2^{3} + 1$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$u_{upper} = 8 + 1$

Этап 1.5.2

Добавим $8$ и $1$ .

$u_{upper} = 9$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 9$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{2}^{9} 2 \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$\int_{2}^{9} \frac{2}{3} \sqrt{u} d u$

Этап 2.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $\sqrt{u}$ .

$\int_{2}^{9} \frac{2 \sqrt{u}}{3} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} \int_{2}^{9} \sqrt{u} d u$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \int_{2}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{2}^{9}$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $9$ и в $2$ .

$\frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $27$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.2

Умножим $2$ на $27$ .

$\frac{2}{3} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.3

Сократим общий множитель $54$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $54$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.3.3.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Объединим $2^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Этап 6.4.2

Умножим $2^{\frac{3}{2}}$ на $2$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Умножим $2^{\frac{3}{2}}$ на $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{1}}{3})$

Этап 6.4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2} + 1}}{3})$

Этап 6.4.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3})$

Этап 6.4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{3 + 2}{2}}}{3})$

Этап 6.4.2.4

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{2}{3} (18 - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2}{3} \cdot (18 - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Десятичная форма:

$10.74292127 \dots$