Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{π} \sec^{2} (\frac{x}{3}) d x$

Этап 1

Пусть $u = \frac{x}{3}$ . Тогда $d u = \frac{1}{3} d x$ , следовательно $3 d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \frac{x}{3}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{0}{3}$

Этап 1.3

Разделим $0$ на $3$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Этап 1.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Этап 1.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

Этап 2.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) \cdot 3 d u$

Этап 2.3

Перенесем $3$ влево от $\sec^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 3 \sec^{2} (u) d u$

Этап 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) d u$

Этап 4

Поскольку производная $\tan (u)$ равна $\sec^{2} (u)$ , интеграл $\sec^{2} (u)$ равен $\tan (u)$ .

$3 (\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\tan (u)$ в $\frac{π}{3}$ и в $0$ .

$3 ((\tan (\frac{π}{3})) - \tan (0))$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$3 (\sqrt{3} - \tan (0))$

Этап 5.2.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$3 (\sqrt{3} - 0)$

Этап 5.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$3 (\sqrt{3} + 0)$

Этап 5.2.4

Добавим $\sqrt{3}$ и $0$ .

$3 \sqrt{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$3 \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$5.19615242 \dots$