Математический анализ Примеры

$\int {(x^{2} - 9)}^{3} (2 x) d x$

Этап 1

Перенесем $2$ влево от ${(x^{2} - 9)}^{3}$ .

$\int 2 {(x^{2} - 9)}^{3} x d x$

Этап 2

Пусть $u = x^{2} - 9$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2 x} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x^{2} - 9$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x^{2} - 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{3} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 9$ .

$\frac{1}{4} {(x^{2} - 9)}^{4} + C$