Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{8 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 - 4 x^{2}$ . Тогда $d u = - 8 x d x$ , следовательно $\frac{1}{- 8 x} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 - 4 x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - 4 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 4$ .

$0 - 8 x$

Этап 1.1.4

Вычтем $8 x$ из $0$ .

$- 8 x$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - 4 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0^{2}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0$

Этап 1.3.1.2

Умножим $- 4$ на $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - 4 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 4 {(\frac{1}{4})}^{2}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1^{2}}{4^{2}}$

Этап 1.5.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1}{4^{2}}$

Этап 1.5.1.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$u_{upper} = 1 - 4 (\frac{1}{16})$

Этап 1.5.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$u_{upper} = 1 + 4 (- 1) \frac{1}{16}$

Этап 1.5.1.4.2

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.4.3

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Этап 1.5.1.4.4

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = 1 - 1 (\frac{1}{4})$

Этап 1.5.1.5

Перепишем $- 1 (\frac{1}{4})$ в виде $- (\frac{1}{4})$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{4}$

Этап 1.5.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$u_{upper} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 1.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{upper} = \frac{4 - 1}{4}$

Этап 1.5.4

Вычтем $1$ из $4$ .

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 4.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 4.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 4.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}})$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $2 u^{\frac{1}{2}}$ в $\frac{3}{4}$ и в $1$ .

$- ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2

Единица в любой степени равна единице.

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

Этап 6.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

Десятичная форма:

$0.26794919 \dots$