Математический анализ Примеры

$\int \frac{1 + x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 1

Разобьем дробь $\frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ на две дроби.

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C$ .

$\arctan (x) + C + \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 5

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 5.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Этап 5.1.5

Добавим $0$ и $2 x$ .

$2 x$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\arctan (x) + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (x) + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 6.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\arctan (x) + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\arctan (x) + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Этап 9

Упростим.

$\arctan (x) + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x^{2}$ .

$\arctan (x) + \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$