Математический анализ Примеры

$\int (5 x^{2} - 3) (2 x) d x$

Этап 1

Перенесем $2$ влево от $5 x^{2} - 3$ .

$\int 2 (5 x^{2} - 3) x d x$

Этап 2

Пусть $u = 2 (5 x^{2} - 3)$ . Тогда $d u = 20 x d x$ , следовательно $\frac{1}{20} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 2 (5 x^{2} - 3)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $2 (5 x^{2} - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [2 (5 x^{2} - 3)]$

Этап 2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 (5 x^{2} - 3)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$ .

$2 \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Этап 2.1.3

По правилу суммы производная $5 x^{2} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$2 (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 2.1.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 2.1.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 2.1.6

Умножим $2$ на $5$ .

$2 (10 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 2.1.7

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (10 x + 0)$

Этап 2.1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Добавим $10 x$ и $0$ .

$2 (10 x)$

Этап 2.1.8.2

Умножим $10$ на $2$ .

$20 x$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u \frac{1}{20} d u$

Этап 3

Объединим $u$ и $\frac{1}{20}$ .

$\int \frac{u}{20} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{20}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{20}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{20} \int u d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{20} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{1}{20} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ в виде $\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 6.2

Перепишем $\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ в виде $\frac{1}{40} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{40} u^{2} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $2 (5 x^{2} - 3)$ .

$\frac{1}{40} {(2 (5 x^{2} - 3))}^{2} + C$