Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 - x^{2}$ . Тогда $d u = - 2 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 - x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 x$

Этап 1.1.4

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$- 2 x$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{{\sqrt{- u + 1}}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${\sqrt{- u + 1}}^{2}$ в виде $- u + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- u + 1}$ в виде ${(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int \frac{{(- u + 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{{(- u + 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{{(- u + 1)}^{1}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.1.5

Упростим.

$\int \frac{- u + 1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{- u + 1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 2.3

Умножим $\frac{- u + 1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{- u + 1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Этап 2.4

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{u}$ .

$\int - \frac{- u + 1}{2 \sqrt{u}} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{- u + 1}{2 \sqrt{u}} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{- u + 1}{\sqrt{u}} d u)$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{- u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 5.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{1}{2} \int (- u + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 5.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int (- u + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 5.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int (- u + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} \int (- u + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 6

Развернем $(- u + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{2} \int - u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 6.2

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$- \frac{1}{2} \int - (u \cdot u^{- \frac{1}{2}}) + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 6.3

Возведем $u$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{2} \int - (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{2} \int - u^{1 - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 6.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{1}{2} \int - u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 6.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{2} \int - u^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 6.7

Вычтем $1$ из $2$ .

$- \frac{1}{2} \int - u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 6.8

Умножим $u^{- \frac{1}{2}}$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} \int - u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 6.9

Изменим порядок $- u^{\frac{1}{2}}$ и $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- \frac{1}{2} (\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C))$

Этап 11

Упростим.

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Объединим ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) + C$

Этап 13.1.2

Перенесем $2$ влево от ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Этап 13.2

Чтобы записать $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Этап 13.3

Объединим $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} - \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Этап 13.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Этап 13.5

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Этап 13.6

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot \frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.1

Умножим $\frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3 \cdot 2} + C$

Этап 13.6.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{6} + C$

Этап 14

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{6} (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$