Математический анализ Примеры

$\int {(1 + \frac{1}{t})}^{3} (\frac{1}{t^{2}}) d t$

Этап 1

Объединим ${(1 + \frac{1}{t})}^{3}$ и $\frac{1}{t^{2}}$ .

$\int \frac{{(1 + \frac{1}{t})}^{3}}{t^{2}} d t$

Этап 2

Пусть $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Тогда $d u = - \frac{1}{t^{2}} d t$ , следовательно $- d u = \frac{1}{t^{2}} d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $1 + \frac{1}{t}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \frac{1}{t}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + \frac{1}{t}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Перепишем $\frac{1}{t}$ в виде $t^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{- 1}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$0 - t^{- 2}$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{t^{2}}$

Этап 2.1.4.2

Вычтем $\frac{1}{t^{2}}$ из $0$ .

$- \frac{1}{t^{2}}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - u^{3} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int u^{3} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Этап 5

Перепишем $- (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ в виде $- \frac{1}{4} u^{4} + C$ .

$- \frac{1}{4} u^{4} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $1 + \frac{1}{t}$ .

$- \frac{1}{4} {(1 + \frac{1}{t})}^{4} + C$