Математический анализ Примеры

$\int \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{3}} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 - x^{2}$ . Тогда $d u = - 2 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 - x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 x$

Этап 1.1.4

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$- 2 x$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{u^{3}} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 2.2

Умножим $\frac{1}{u^{3}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

Этап 2.3

Перенесем $2$ влево от $u^{3}$ .

$\int - \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u)$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $u^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{1}{2} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Этап 5.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{- 3} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- 3}$ по $u$ имеет вид $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ в виде $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

Этап 7.2

Перепишем $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ в виде $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перенесем $2$ влево от $u^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

Этап 7.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Этап 7.3.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Этап 7.3.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$\frac{1}{2 (2 u^{2})} + C$

Этап 7.3.5

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{4 u^{2}} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x^{2}$ .

$\frac{1}{4 {(1 - x^{2})}^{2}} + C$